数学—AI人工智能基石

AI在可预见的多年内还将以爆发的态势增长，AI人才需求与日俱增，但普通程序员困于没有扎实的专业数学基础，局限在AI应用层开发，在进一步构建自己的AI模型、调参优化、处理数据并评估性能方面无法突破，甚至很多教程也基于有相关高等数学基础而设计，对于大部分毕业后再未接触过数学的开发人员有相当的难度，鉴于此本课程严选AI强关联数学干货，降低学习门槛、可视化呈现、数学与代码结合的程序员友好课程设计，广泛覆盖AI所必备的数学基础，旨在消除程序员在深入AI领域的数学屏障，无论你是想夯实数学基础，还是深耕AI领域，这门课程都将是你的首选。

数学与AI项目实例紧密融合，学员动手实操，避免一看就会，一用就废

大语言模型的数学原理
手工实现一个
分类问题神经网络
实现一个自动微分框架
大手搓一个python矩阵类

项目简介

深入大语言模型的核心数学原理：分解大语言模型的结构，亲手实现一个简单大语言模型。综合在整个课程中所学，理解数学为大语言模型提供的算法和理论基础、优化方法以及在数据分析和处理中的关键作用；通过实验直观的感受大语言模型的语义逻辑，观察模型深层的向量脉动；从而更有效的使用大模型，为更深入的工作打下基础

项目内容：

对应数学原理：

Transformer总体架构，历史和现状

矩阵运算；均值，方差，归一化；激活函数；概率分布与条件概率链式法则与梯度下降

Embedding，位置编码：将离散的单词映射为连续向量，保留语义，引入位置编码以保留序列顺序信息

向量空间；相似度计算；周期性信号；主成分分析 PCA

注意力机制：包括 Q、K、V 的计算及点积注意力公式

矩阵分解；特征值与特征向量；点积；归一化；Softmax 函数与概率分布；均值，方差

解码器：掩码多头注意力（Masked Multi-Head Attention）和上下文融合，生成文本输出的过程

条件概率与贝叶斯定理；梯度下降与反向传播；链式法则与自动微分；信息熵

项目简介

从数学原理入手，深入剖析神经网络的核心原理。课程将带领学生用Python从零实现一个简易的全连接神经网络（含输入层、隐藏层、输出层），网络中关键组件包括：激活函数（Sigmoid 和 Softmax）、损失函数（交叉熵）以及训练数据的处理方法。通过一个真实分类数据训练并验证模型效果。每一步代码实现均对应数学公式推导，重点解释梯度计算、反向传播等关键概念。

项目内容：

对应数学原理：

神经网络结构

矩阵运算（矩阵乘法、加法）；线性代数基础；非线性变换；函数复合与链式法则；

Sigmoid激活函数：激活函数的作用及其数学表达式；解释其如何引入非线性特性。

指数函数与对数函数；导数与梯度；单调函数性质；

Softmax激活函数：介绍 Softmax 激活函数的定义及其在多分类问题中的应用；讲解如何将原始输出转换为概率分布。

指数函数与归一化；概率分布与条件概率；偏导数计算；

交叉熵 (Cross-Entropy)损失函数：解释交叉熵损失函数的定义及其在分类任务中的作用；讨论如何衡量预测值与真实值之间的差异。

最大似然估计；梯度下降与优化理论；

Softmax-Cross-Entropy 的偏导数：推导 Softmax 和交叉熵组合的损失函数的偏导数；讲解反向传播中梯度的计算方法。

复合函数求导；链式法则；偏导数与梯度更新规则；

训练数据处理：讲解数据标准化的必要性及其数学原理；介绍均值归一化和标准差缩放的方法。

统计学基础：均值、方差、标准差；

项目简介

深入探讨自动微分的数学原理，并带领大家手工实现一个基于自动微分的神经网络框架。从自动微分的基础原理出发，通过构建计算图、实现反向传播算法，逐步理解神经网络中梯度计算的本质。课程将涵盖自动微分的前向模式和反向模式，并通过代码实现softmax和交叉熵损失的自动微分，最终将自动微分集成到神经网络中，展示其在模型训练中的强大优势。

项目内容：

对应数学原理：

神自动微分的原理：计算图，前向传导：介绍自动微分的核心思想，包括计算图的构建和前向传导过程；讲解如何将数学表达式分解为基本操作节点。

计算图的定义；前向传播的流程；链式法则；函数复合与偏导数

自动微分之后向传导：深入讲解反向传导的过程，基于链式法则递归计算每个节点的梯度；实现梯度的自动累积。

指链式法则；反向传播算法；偏导数与梯度计算；递归的应用

代码实现 Softmax + 交叉熵的自动微分：实现 Softmax 激活函数和交叉熵损失函数的自动微分，推导其梯度公式并验证结果。

Softmax 函数的定义与性质；交叉熵损失函数；复合函数求导；梯度下降优化

将实现的自动微分应用到神经网络中：将自动微分框架应用于一个简单的神经网络，完成前向传播、反向传播和参数更新，训练模型完成分类任务。

神经网络结构；梯度下降法；参数更新规则；损失函数与优化目标

项目简介

带领学生深入理解矩阵操作在科学计算和机器学习中的核心作用，并通过动手实践，从零开始实现一个完整的矩阵类。课程内容覆盖矩阵的基本操作及其背后的数学原理，包括加减乘除、点积、转置、行列式计算、高斯消元法和 LU 分解等。在编码过程中，我们将逐一解析这些操作的数学基础，帮助学生建立从理论到实践的完整认知。

项目内容：

对应数学原理：

重载加减乘除运算符：重载矩阵类的加法、减法、数乘和矩阵乘法运算符，支持矩阵之间的基本运算。

矩阵加减法；数乘运算；矩阵乘法规则

实现矩阵的点积运算：实现矩阵的点积（内积）运算，用于科学计算和机器学习中的权重更新和激活函数计算。

指点积定义；矩阵维度匹配；向量内积与矩阵乘法的关系

实现矩阵的转置：实现矩阵的转置操作，即将矩阵的行变为列，列变为行。

转置矩阵的定义；索引变换；对称矩阵的性质

实现递归求矩阵的行列式：使用递归方法计算矩阵的行列式，基于拉普拉斯展开公式。

行列式的定义；代数余子；递归

实现高斯消元法求矩阵的秩：使用高斯消元法将矩阵化为阶梯形矩阵，进而求解矩阵的秩。

复高斯消元法；阶梯形矩阵；矩阵的秩与线性无关性

实现舒尔补方法对矩阵LU分解：使用舒尔补方法实现矩阵的 LU 分解，即将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积。

统LU 分解的定义；舒尔补方法；线性方程组的求解与矩阵分解

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算法工程师

硕士毕业于人工智能专业，曾长期在知名外企担任项目专家，深度参与多个AI项目的全流程工作，包括筹划、开发与实施，拥有AI理论知识和丰富的实践经验。同时，具备跨领域的产品开发经验，熟悉软件开发与人工智能的结合应用，深刻理解程序员在人工智能领域的痛点与挑战。

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课程大纲及学习周期安排

为保证课程内容紧跟市场变化，课程章节将逐步开放，直至课程完结

阶段一：线性代数：批量数据规律的研究

5门课 · 课程总时长：15小时

第1周
第2周
第3周
第4周
第5周

线性代数入门：由来、与人工智能的关系

介绍课程，配置开发环境，快速入门编程，了解线性代数的基本概念和应用，学习线性代数核心概念-走进矩阵

课程安排：

1、准备编程环境
2、Matplotlib快速上手、练习
3、常用科学计算，机器学习库的介绍和对比
4、线性代数入门练习
5、从数值到多维数据--计算机批量数据处理的基石：标量、向量、矩阵、张6、量到底是什么？
7、批量数据核心操作：向量的加减乘除
8、机器学习中的尺子：向量范数
9、让数据动起来，矩阵乘法与变换
10、对称矩阵、对角矩阵……这些特殊矩阵的what和why

矩阵进阶运算与矩阵分解

深入学习矩阵的高级运算和性质，包括转置、逆、迹、秩等以及矩阵计算的基石：矩阵分解

课程安排：

特征分解

学习特征分解的定义、代码调用、直观理解、手工计算方法和性质。

课程安排：

奇异值分解SVD

深入学习奇异值分解的定义、代码调用、直观解释、作用、与特征值分解的关系、伪逆等。

课程安排：

主成分分析PCA

学习主成分分析的直观理解、协方差矩阵、分解过程、与SVD的关系、应用等。

课程安排：

阶段二：线性代数实战

2门课 · 课程总时长：9小时

第6周
第7周

Numpy快速上手，用Python实现矩阵

帮助怼Numpy不太熟悉的同学提供了Numpy快速入门知识，再通过带同学自己手工实现一个python矩阵操作的类来加深对矩阵运算规律和性质的理解。

课程安排：

1、机器学习和数据科学的基石：Numpy的介绍
2、Numpy数组的灵活操作：数组的创建，索引，切片
3、更有效的内存使用：Numpy的复制和视图
4、灵活的数组过滤：布尔数组索引
5、数据变形记：维度调整与遍历
6、多维数据拼接：concatenate, stack, hstack, vstack, dstack
7、不同形状的数组能运算：Numpy的广播机制
8、Numpy的矩阵操作以及算数运算的支持
9、数据升维降维：添加，删除维度
10、Numpy相关知识点练习
11、为什么需要自定义矩阵类？筑牢机器学习的基石
12、让矩阵数据一目了然？重载类的字符串表达实现可视化调试
13、重载加减乘除运算符
14、实现矩阵的点积
15、实现矩阵的转置
16、实现递归求矩阵的行列式
17、实现高斯消元法求矩阵的列
18、Python实现一个矩阵类的练习

数据处理方法与矩阵与图形变换

学习常用的数据处理方法，包括正态分布、数据归一化、标准化、模型正则化等。学习矩阵在图形变换中的应用，包括缩放、旋转、剪切、移动、组合变换、倾斜等。

课程安排：

阶段三：微积分：研究数据变化的规律与模型优化

3门课 · 课程总时长：8小时

第8周
第9周
第10周

微积分入门，微积分核心基础

介绍微积分的基本概念，包括斜率、切线、极限、导数、穷竭法、曲线下面积等，学习极限、连续性、斜率和导数的基本概念和计算方法。

课程安排：

微积分进阶与多元微积分

学习常见函数的导数、微分公式、链式规则、高阶导数、不定式和洛必达法则等。学习多元微积分的基本概念，包括偏导数、偏导数规则、梯度向量、高阶偏导数等。

课程安排：

积分基础

学习积分的基本概念，包括积分的直观理解、不定积分与定积分、积分的性质等。

课程安排：

阶段四：微积分实战和进阶

5门课 · 课程总时长：10小时

第11周
第12周
第13周
第14周
第15周

用微积分知识实现一个神经网络

实现多分类问题的神经网络，学习回归问题与分类问题、神经网络结构、激活函数、损失函数等。

课程安排：

1、从回归到分类的问题建模
2、神经网络结构
3、S型曲线转化为二分类概率：sigmoid激活函数
4、将神经元输出压缩为概率的激活函数：softmax
5、如何量化预测结果与真实标签的差距的损失函数：交叉熵 cross-entropy
6、反向传播核心：Softmax与交叉熵联合求导的数学技巧
7、数据标准化：为什么特征缩放能加速神经网络收敛？
8、从微积分推导到Python代码的完整实现
9、练习：实现分类神经网络

ROC曲线与分类性能评估

学习分类问题与回归问题的区别，ROC曲线的定义和应用，混淆矩阵等。

课程安排：

神经网络梯度问题

研究神经网络的梯度消失和梯度爆炸问题，学习ReLU激活函数、正则化技术等。

课程安排：

神经网络自动微分

学习自动微分的原理和实现，包括计算图、前向传导、后向传导等。

课程安排：

偏导数与模型优化与支持向量机SVM

学习偏导数的链式法则、雅可比矩阵、神经网络中的偏导数、黑塞矩阵、牛顿法优化器等。学习支持向量机SVM的基本概念，包括超平面、硬间隔、软间隔、Hinge Loss损失函数、核函数等。

课程安排：

阶段五：概率论：应对现实世界中不确定性、神经网络的理论基础

4门课 · 课程总时长：8小时

第16周
第17周
第18周
第19周

概率基础与离散概率分布

学习概率的基本概念，包括机器学习中的不确定性、概率的直观理解、频率派与贝叶斯派、随机变量等。学习离散概率分布，包括伯努利分布、二项分布、多项伯努利分布、多项分布等。

课程安排：

连续概率分布与概率密度估计

学习连续概率分布，包括正态分布、指数分布、泊松分布、帕累托分布等。学习概率密度估计的基本概念，包括直方图、参数密度估计、核密度估计等。

课程安排：

最大似然估计，贝叶斯概率

学习最大似然估计的基本概念，包括似然、最大似然、正态分布的最大似然函数、逻辑回归等。学习贝叶斯概率的基本概念，包括贝叶斯定理、贝叶斯分类器、朴素贝叶斯分类器等。

课程安排：

贝叶斯回归

学习贝叶斯回归的基本概念，包括贝叶斯回归、正则化等。

课程安排：

1、贝叶斯回归，用概率的眼光和工具来重新认识回归问题
2、贝叶斯回归数学推导：先验分布选择与后验概率更新机制
3、贝叶斯回归的代码实现
5、正则化技术解析：贝叶斯先验分布与L2正则化的数学等价性
6、练习：贝叶斯回归

阶段六：综合实战、总结

1门课 · 课程总时长：10小时

第20周

大语言模型实现：深入大语言模型的核心数学原理

分解大语言模型结构，亲手实现一个大语言模型。综合整个课中所学，理解数学为大语言模型提供的算法和理论基础、优化方法以及在数据分析和处理中的关键作用；直观感受大语言模型的语义逻辑和模型深层的向量脉动

课程安排：

1、生成式AI预训练与微调的核心骨架Transformer的总体架构析
2、文本语义建模与序列位置敏感性增强：词嵌入与位置编码
3、自注意力机制数学推导：权重动态分配与机器翻译对齐优化
4、解码器核心技术栈：掩码多头注意力与跨层上下文融合的文本生成控制

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数学—AI人工智能基石

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线性代数入门：由来、与人工智能的关系

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矩阵进阶运算与矩阵分解

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特征分解

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奇异值分解SVD

课程安排：

主成分分析PCA

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Numpy快速上手，用Python实现矩阵

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数据处理方法与矩阵与图形变换

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微积分入门，微积分核心基础

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微积分进阶与多元微积分

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积分基础

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用微积分知识实现一个神经网络

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ROC曲线与分类性能评估

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神经网络梯度问题

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神经网络自动微分

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偏导数与模型优化与支持向量机SVM

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概率基础与离散概率分布

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最大似然估计，贝叶斯概率

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